一元二次函数：表达式、性质与一元二次方程的关系详解

这篇文章将为大家详细解析一元二次函数的相关知识点，包括其定义、表达式、性质以及与一元二次方程的关系。一元二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c(a≠0)，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。二次函数的图像为抛物线，对称轴与y轴平行或重合于y轴。二次函数有三种表达式：顶点式y=a(x-h)²+k(a≠0，a、h、k为常数)，顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x=h；交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac＞0]，函数与图像交于(x₁，0)和(x₂，0)；一般式y=aX²+bX+c=0(a≠0)(a、b、c是常数)。

二次函数的性质包括：二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a；二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在y轴左侧，当a与b异号时，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0，c)。

二次函数与一元二次方程的关系紧密相连。一元二次方程0=ax²+bx+c就是二次函数y=ax²+bx+c当函数y=0的情况；二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax²+bx+c=0的根。