椭圆及其标准方程教案：从定义到应用，全面解析椭圆的奥秘

椭圆的标准方程优秀教案

一、教学目标

使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程；

复习和巩固求轨迹方程的基本方法；

理解椭圆轨迹和方程之间的关系，提高学生的解析能力。

二、教学重点

椭圆的定义和椭圆的标准方程及其求法；

椭圆曲线和方程之间的相互关系。

三、教学难点

建立适当的坐标系，求椭圆标准方程；

利用椭圆的定义和标准方程研究曲线。

四、教学方法与手段

体验式教学，结合多媒体演示。

五、学生特点

本节课的教学对象为高中实验班学生，数学基础较好。

六、教学过程

引入椭圆定义

由学生根据课前预习叙述椭圆的定义，并展示预习时所做的“图形”，介绍椭圆的做法，帮助同学了解椭圆的定义，同时引出椭圆标准方程。

推导椭圆标准方程

①建系：以 和 所在直线为 轴，线段 的中点为原点建立直角坐标系；

②设点：设 是椭圆上任意一点，设 ，则；

③列式：由 得；

④化简：移项平方后得，整理得，两边平方后整理得，由椭圆的定义知， 即 ，∴ ，令 ，其中 ，代入上式，得 ，两边除以 ，得： （ ）。

深入理解椭圆标准方程

（1）方程 （ ）叫做椭圆的标准方程。它表示焦点在 轴上，焦点坐标为 ， ，其中 。

（2）方程方程 （ ）也是椭圆的标准方程。它表示焦点在 轴上，焦点坐标为 ， ，其中 。

通过例题巩固椭圆的标准方程。

例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1) 两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上任意一点与两焦点的距离的和等于8；

(2) 两个焦点的坐标分别是(0,－4)，(0，4)，并且椭圆经过点 。

展示学生所作椭圆，让学生利用椭圆方程和椭圆定义来判断所作的“椭圆”，并说明判断的依据，进一步巩固椭圆定义和椭圆的标准方程。

小结：这节课我们围绕椭圆及其标准方程研究了椭圆这几个方面的问题：

（1）椭圆的定义；

（2）椭圆的标准方程推导；

（3）利用椭圆的定义和标准方程研究曲线。